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A propos d'Obligement
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David Brunet
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Reportage : L'Amiga dans l'enseignement des mathématiques à l'Université d'Albany
(Article écrit par Fabrice Neyret et extrait d'Amiga News - janvier 1993)
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L'utilisation de l'informatique dans l'enseignement n'est pas vraiment récente. Mais son emploi s'est
souvent borné à des travaux peu imaginatifs voire rébarbatifs, du genre "textes à trous"
en français, langues, voire sciences. L'ordinateur se comporte alors en répétiteur infiniment patient mais
en général plutôt morne, se contentant de faire remplir une sorte de formulaire, puis de corriger et commenter sommairement.
A l'opposé, quelques intéressantes expériences avant-gardistes ont été faites (notamment avec Seymour Papert),
dans lesquelles l'ordinateur servait de support à la créativité et à l'intelligence des enfants. Cela a,
entre autres, conduit à la création du langage LOGO.
Dans un autre genre, certains travaux en intelligence artificielle (IA), comme ceux conduits à L'ENST, cherchent
à permettre un véritable dialogue entre la machine et l'élève, l'ordinateur utilisant par exemple dans le
domaine des sciences les mauvais raisonnements de l'élève pour le conduire peu à peu dans une situation absurde
en lui posant les questions judicieuses.
Enfin, on trouve parfois des méthodes pédagogiques reposant sur la simulation (sciences, maths, gestion),
hélas peu utilisées et pourtant à la fois vivantes et proches des réalités de l'ingénieur.
Le calcul formel
Nous allons vous parler aujourd'hui d'une application qui tient à la fois un peu de la simulation, un peu de
l'IA, et un peu du support à la créativité. Elle s'appuie sur le programme de calcul symbolique Maple.
Ce type de programme permet de manipuler les objets mathématiques concrets ou abstraits comme sait le faire
l'Homme, c'est-à-dire sans faire de calcul numérique (toujours approximatif) mais en appliquant des règles.
Il sait ainsi obtenir des dérivées, des intégrales, effectuer des transformations, résoudre des systèmes d'équations,
utiliser les espaces bizarres des mathématiciens, faire de la théorie des nombres... Et bien sûr, il sait
également si nécessaire calculer numériquement (avec n'importe quelle précision), résoudre numériquement des équations,
et représenter en 2 ou 3 dimensions les courbes et surfaces.
Ce genre de programme rend de grands services en recherche scientifique comme en ingénierie, dans la
mesure où il se charge de la partie ingrate des manipulations d'expression. Assez curieusement, son usage
n'est pas encore suffisamment répandu. Mais l'informatique ne sert pas simplement à faire "pareil, mais plus vite" :
elle apporte des possibilités nouvelles (palette graphique par rapport au dessin à la gouache), et
parfois simplement parce que la très grande rapidité obtenue permet de nouvelles approches
(explorer une nouvelle voie calculatoire, recommencer 50 fois la résolution avec des données un peu différentes,
résoudre un problème en laissant des paramètres non fixés, garder le maximum de précision le plus loin possible,
sont des choses qui peuvent demander des mois quand elles sont faites à la main, ce qui peut en outre
introduire des erreurs...).
Et pourtant, quoi de plus pédagogique que l'expérimentation... (après tout la plus grande partie de notre
apprentissage non scolaire fonctionne par "essai/erreur"). De plus, sans l'usage de ces outils, on
ne peut pas se permettre de réaliser en classe la résolution de problèmes d'une complexité réaliste, car
cela demanderait bien trop de temps et serait plutôt rébarbatif.
Application à l'enseignement des mathématiques
Le département de mathématiques de l'Université de l'état d'Albany, aux États-Unis, a choisi voici
trois ans de baser une partie de l'enseignement des mathématiques sur l'expérimentation permise
par le calcul formel. L'idée est de faciliter l'acquisition des concepts fondamentaux par l'exploration
d'exemples complexes, en suivant les maîtres mots "collaboration" et "interaction".
Et comme le dit Herb Brown, le professeur de mathématiques à l'origine du projet, ça a complètement
changé la façon d'enseigner de l'équipe d'enseignants.
Espace de travail
Le campus dispose d'une salle de classe informatisée, où ont lieu tous les cours. Celle-ci accueille 21
Amiga relativement standard (A2000 sous Workbench 2.0 équipés de 3 Mo de mémoire pour les 20
postes d'étudiants, et pour l'enseignant un A2500/30 relié au réseau Ethernet du campus). Et bien sûr,
Maple V est installé sur le disque dur de tous ces Amiga
(on y trouve également quelques traitements de texte, des éditeurs et d'autres programmes mathématiques).
La salle servant aussi bien aux cours qu'aux travaux pratiques, elle est aménagée de telle sorte que le
professeur (et autant que possible les élèves) puissent voir tous les écrans et que les élèves n'aient
qu'à se retourner sur leur chaise pivotante pour voir le tableau. Le fait que les élèves doivent se
tourner soit côté leçon, soit côté TP (ils ont une table de chaque côté) évite également qu'ils ne soient
distraits par les écrans quand l'heure est à l'écoute !
Les tables forment un vaste "U" entourant un "E" renversé, tous deux tournés vers le tableau. Le poste du
professeur est situé à la pointe centrale du "E', celui-ci peut donc voir tous les écrans d'un coup d'oeil,
et réciproquement toute la classe peut suivre les démonstrations sur son écran. Cette disposition facilite
l'interaction entre les élèves, ainsi qu'entre le professeur et sa classe.
Emploi du temps
La totalité des cours concernés se passe dans cette salle : cours magistraux, démonstrations par le professeur,
expérimentations par les élèves, examens... Ils se répartissent sur les quatre années du cursus universitaire,
ce qui fait que 520 étudiants du campus utilisent la station de calcul symbolique chaque année.
12 des 35 professeurs du département plus quelques thèsards assurent une grande variété de cours :
calcul, algèbre linéaire, équations différentielles, analyse avancée, algèbre avancée, théorie
des nombres, algèbre linéaire avancée, méthodes numériques... Ils utilisent aussi les stations pour
leurs propres recherches (certains cours de ce qui correspond à notre DEA accèdent également à la salle des
Amiga, et on trouve quelques machines supplémentaires dans d'autres salles).
Réactions
Les étudiants sont vivement encouragés à collaborer entre eux, et on constate que ceux qui ont
compris "dépannent" facilement ceux qui sont bloqués devant un problème ou une erreur de syntaxe,
ce qui fait que le cours profite à ceux à qui il passait autrefois au-dessus de la tête, tandis
que les étudiants plus avancés peuvent donner libre cours à leur esprit d'exploration, ce qui leur était
difficile auparavant.
Des problèmes en général assez complexes dès qu'on sort des cas triviaux, comme les problèmes inverses,
peuvent être abordés : on illustre par exemple l'inversion en observant les fonctions du troisième degré,
où l'on trouve toujours trois solutions, mais dont deux sont généralement "cachées"
car ce sont des nombres complexes. Les élèves sont invités juste après la leçon ou la démonstration du
professeur à vérifier par eux-mêmes, à mettre en pratique et à approfondir le concept "in vivo".
Ainsi en analyse élémentaire, les étudiants se familiarisent avec les concepts de continuité et de
différentiabilité en inspectant les fonctions à coup de zooms pour étudier leurs comportements locaux. Et il
arrive que l'un d'entre eux tente spontanément "pour voir" de remplacer la variable "x"
par son carré, et que cela conduise à une courbe beaucoup plus "lisible".
C'est exactement le genre de comportement que les enseignants attendent !
Enfin, le calculateur formel peut être employé selon deux modalités différentes :
on peut n'être intéressé que par le résultat, mais on peut également chercher à comprendre comment
on y parvient (la démonstration), ce qui est possible dans la mesure où Maple permet d'avancer en pas à pas.
En fait, chaque cours, ou chaque prof, a une façon différente de s'appuyer sur le calcul formel.
Certains s'en servent pour illustrer ou démontrer, d'autres laissent découvrir, d'autres s'intéressent plutôt
aux résultats eux-mêmes, d'autres encore utilisent des scripts ou exploitent la pilotabilité par ARexx...
Conclusion
Les résultats de la nouvelle approche pédagogique vont, dixit le professeur Brown,
au-delà de toutes les espérances de l'équipe, si bien qu'ils pensent en généraliser l'usage à tous les niveaux.
Cela semble tenir tant à l'ambiance motivante générée par l'utilisation conviviale de cet environnement
d'apprentissage qu'à la possibilité pour l'élève d'expérimenter et donc d'interagir avec ses connaissances.
Et, toujours selon le professeur, les potentialités de l'extraordinaire richesse de cet environnement n'ont pas
encore été complètement explorées. Il serait fortement souhaitable que les enseignants soient confrontés à
cette approche lors de leur formation, car l'usage du calcul symbolique n'est pas bien entré dans les moeurs
alors que ces résultats dans l'enseignement méritent vraiment qu'on s'y intéresse davantage.
Deux autres Universités (au moins) ont suivi la même voie : le collège St Rose à New York (avec des A3000),
et l'Université de l'Ouest-Michigan. Je ne sais pas ce qu'il en est en France, où le calcul formel est
parfois abordé en tant que tel en mathématiques ou en informatique, mais pas à ma connaissance en tant que
support de formation. La machine en elle-même est appréciée pour sa facilité d'apprentissage, sa dualité
entre les aspects "souris" et "clavier", et bien sûr son prix. Maple V y tourne à une vitesse satisfaisante.
Il n'y a pas eu de problème avec le parc de machines quant à la fiabilité jusqu'à aujourd'hui.
Le faible coût de l'Amiga allié à ses capacités graphiques et multitâche en fait une station attractive pour
ce genre d'usage. On peut supposer qu'avec une politique plus agressive en direction des laboratoires,
écoles et Universités, l'usage de notre machine se propagerait rapidement...
Notons que Commodore USA a directement participé à la mise en place de cette unité à l'Université d'Albany,
en apportant les deux tiers des machines. Dans la mesure où les grands constructeurs tels que Sun ou Silicon
Graphics se sont implantés (et continuent à le faire) en participant massivement à ce genre de projets,
il me semble crucial que l'on s'investisse d'avantage sur cette voie avec l'Amiga, en France comme ailleurs.
L'histoire montre que c'est payant (la première station que rencontre un étudiant, voire la seule,
est une Sun, machine par ailleurs pas particulièrement exceptionnelle). Mais cela n'est pas à la portée d'un
simple distributeur.
Cet article se nourrit d'une longue conversation électronique avec Herb Brown,
directeur de l'enseignement des mathématiques assistées par ordinateur, professeur de mathématiques à
l'Université d'Albany. Je tiens à l'en remercier, bien que je doute qu'il ait jamais l'occasion de lire ces
lignes !
Étudiants : nous vous encourageons à faire lire cet article à vos professeurs de mathématiques !
Et tenez-nous au courant des réactions éventuelles.
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